2018年度福岡県公立入試「数学大問3番(数の証明など)」予想問題と解説

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2018年度福岡県公立入試「数学大問3番(数の証明など)」予想問題と解説についてまとめています。福岡県の公立入試の大問3は、文章題と同様、求めるまでの過程を自分で記述していかなければならないので、論理的に記述できる練習が必要です。それでは、2018年度福岡県公立入試「数学大問3番(数の証明など)」予想問題と解説です。

数学的な思考が問われる問題

大問3では、「数の証明」「規則性」「資料の整理」「標本調査」などこれまで数学的な思考が問われる問題が出題されることが多いです。中でも、「数の証明」についての出題が近年は多いです。そういった問題に対する練習をしておきましょう。

特に、記述問題になりますので、論理的な記述がポイントとなります。また、ここ数年は、問題文自体が長くなっているので、しっかい読みこむ力が必要になっている側面もあり、読解力も極めて重要になっています。

予想問題1

2けたの整数は、十の位の数をa, 一の位の数をbとすると、10a+bと表すことができます。これを利用して、「2けたの整数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた整数との平方の差は、99の倍数である」ことを証明しなさい。

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解答1

入れかえた2けたの整数は、10b+aと表せるので
(10a+b)2-(10b+a)2
=100a2+20ab+b2-(100b2+20ab+a2)
=99a2-99b2
=99(a2-b2)
ここで、(a2-b2)は整数なので99(a2-b2)は99×(整数)となり、99の倍数となる。よって、2けたの整数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた整数との平方の差は、99の倍数である。

予想問題2

連続する3つの整数のうち、最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は、真ん中の整数の2乗の2倍に等しいことを証明せよ。

解答2

整数nを使って、真ん中の数をnとすると、連続する3つの整数は、(n-1)、n、(n+1)と表せる。

最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は
(n-1)2+(n-1)2-2
=n2-2n+1+(n2+2n+1)-2
=2n2  …①
真ん中の整数の2乗の2倍は、
2×2
=2n2  …②
①②より最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は、真ん中の整数の2乗の2倍に等しい

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