2020年度福岡県公立入試「数学」予想問題と解説

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2020年度の福岡県公立入試数学大問1予想問題と解説についての記事です。大問1番については、志望校がどこに限らず全問正解が必須の大事な問題となります。また、2018年度より、試験時間が5分延長となりました。今後、小問が1問程度増える可能性も否定できません。しっかり復習をし、試験に臨みましょう。

福岡県公立入試数学大問1予想問題

福岡県の大問1は、問題数は9問ないし10問例年出題され、配点も全体の1/3以上を占める最も配点が大きい大問です。

<傾向と復習しておきたい単元>

(1)四則の計算(中1)
(2)文字式の計算(中2)
(3)式の値
(4)平方根の計算(中3)
(5)1次方程式の計算(中1)または、因数分解(中3)
(6)2次方程式の計算(中3)
(7)比例・反比例の式(中1)または、1次関数の式(中2)ないし2次関数の式(中3)
(8)確率
(9)資料の整理(中1)または、標本調査(中3)ないし、角度(中2)、円周角(中3)

そのほか、「投影図」「変域」「変化の割合」「数量を式に表す」「近似値(誤差)」「相似の一行問題」「球の表面積・体積」など復習しておくといいでしょう。

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数学大問1番 予想問題

次の(1)~(9)について、(   )の中にあてはまる最も簡単な数または式を記入せよ。ただし、根号を使う場合は√の中を最も小さい整数にすること。

(1)2-3×(+4)=(   )
(2)2(a-1)-(3a-4)=(   )
(3)a=5,b=2のとき、-a+3b2の値は(   )である。
(4)√20-5√5=(   )
(5)1次方程式2x-9=x+3を解くとx=(   )である。
(6)2次方程式x(x+5)=2(x+9)を解くとx=(   ),(   )である。
(7)yはxに反比例し、x=4のときy=3である。x=-6のときのyの値は、(   )である。
(8)4枚の硬貨A,B,C,Dを同時に投げるとき、1枚が表で3枚が裏である確率は、(   )である。ただし、どの硬貨の表裏が出ることは同様に確からしいものとする。
確認確率の出題パターンとその解き方
(9)水そうに、赤い金魚が多くいる。赤い金魚の数を調べるために、黒い金魚100匹を水そうに入れ、その中から60匹の金魚を無作為に抽出し、黒い金魚の数を調べた後、抽出した60匹の金魚をすべてもとの水そうにもどす。これを繰り返しおこなったところ、黒い金魚の平均は、1回あたり12匹であった。このとき、水そうにいる赤い金魚は、約(    )匹と推定できる。
確認中3数学の「標本調査」全数調査との違いと母集団!

数学大問1番 解答

(1)-7
(2)3a+2
(3)7
(4)-3√5
(5)12
(6)3,6
(7)-2
(8)1/4
(9)400

数学大問2番(方程式文章題)

これまで、福岡県の公立入試の文章題のジャンルとして、「割合」の問題が多いのが特徴です。ここ数年は、文章題自体が長くなる傾向があり、条件をしっかり整理しながら解いていくことが求められます。

<学習しておきたい文章題ジャンル>

  • 割合
  • 個数
  • 距離

など

方程式文章題予想問題1

はるかさんとたけるくんは、トレーナーとTシャツを買いに、カジュアルファッションショップへ行った。この店ではトレーナー1枚x円、Tシャツ1枚y円の定価がついている。次の会話を読んで、問いに答えなさい。

会話 内容
店 長 今日は「福岡一人一花サイコロ割引セール」を実施しています。代金を支払うとき,大小2つのサイコロを投げてください。割引率は2つのサイコロのそれぞれのでた目の積で決めます。例えば、2と5が出たら,2×5で定価の10%を割り引きます。6と6が出たら、6×6で定価の36%を割り引くことになります。なお,消費税はサービスとしていただきません。
はるか トレーナー1枚とTシャツ3枚を買います。
店 長 では、2つのサイコロを投げてください。
はるか 2と6が出ました!
店 長 2×6だから定価の12%を割り引いて,代金は7040円になります。
たける トレーナー2枚とTシャツ1枚を買います。
店 長 では、2つのサイコロを投げてください。
たける 5と4です。
店 長 5と4だと、割り引いて、代金は9600円ですね。

トレーナー1枚x円、Tシャツ1枚y円として、連立方程式を完成させ、それぞれの定価を求めなさい。なお、求めるまでの過程も示しなさい。

解答1
0.88(x+3y)=7040
0.8(2x+y)=9600

これを解くと、x=5600 y=800
これは問題にあう
トレーナー5600円、Tシャツ800円

方程式文章題予想問題2

ある村の運動会で、いすの準備と片付けを、会場係の大人と子どもが次の〔Ⅰ〕、〔Ⅱ〕のように行う。また、係の大人と子供の人数の関係は〔Ⅲ〕のようになっている。このとき,次の(     )の中に適当な数または式を書き入れなさい。

番号 内容
〔Ⅰ〕 いすの準備 いすの準備は大人だけで行い、一人が25脚並べる。
〔Ⅱ〕 いすの片づけ 並べたすべてのいすを、大人は1人が13脚、子どもは1人が8脚片づける。
〔Ⅲ〕 人数の関係 大人の人数は,子どもの人数より3人少ない。

会場係の大人の人数をx人、子どもの人数をy人として、x、yの関係を表す式をつくると,
〔Ⅰ〕と〔Ⅱ〕から、(  ア  )
〔Ⅲ〕から(  イ  )
となり、これらを連立方程式として解くことによって、並べるいすは全部で(  ウ  )脚であることがわかる。また、これらのいすを会場係の大人と子どもが全員で、1人が同じ数のいすを片づけることにすると、1人が(  エ  )脚片づければよいことになる。

解答2
(ア)25x=13x+8y
(イ)x=y-3
(ウ)150
(エ)10

数学的な思考が問われる大問3番

大問3では、「数の証明」「規則性」「資料の整理」「標本調査」などこれまで数学的な思考が問われる問題が出題されることが多いです。中でも、「数の証明」についての出題が近年は多いです。そういった問題に対する練習をしておきましょう。

特に、記述問題になりますので、論理的な記述がポイントとなります。また、ここ数年は、問題文自体が長くなっているので、しっかい読みこむ力が必要になっている側面もあり、読解力も極めて重要になっています。

福岡県数学大問3番予想問題1

2けたの整数は、十の位の数をa, 一の位の数をbとすると、10a+bと表すことができます。これを利用して、「2けたの整数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた整数との平方の差は、99の倍数である」ことを証明しなさい。

福岡県数学大問3番解答1
入れかえた2けたの整数は、10b+aと表せるので
(10a+b)2-(10b+a)2
=100a2+20ab+b2-(100b2+20ab+a2)
=99a2-99b2
=99(a2-b2)
ここで、(a2-b2)は整数なので99(a2-b2)は99×(整数)となり、99の倍数となる。よって、2けたの整数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた整数との平方の差は、99の倍数である。

福岡県数学大問3番予想問題2

連続する3つの整数のうち、最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は、真ん中の整数の2乗の2倍に等しいことを証明せよ。

福岡県数学大問3番解答2
整数nを使って、真ん中の数をnとすると、連続する3つの整数は、(n-1)、n、(n+1)と表せる。

最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は
(n-1)2+(n-1)2-2
=n2-2n+1+(n2+2n+1)-2
=2n2  …①
真ん中の整数の2乗の2倍は、
2×2
=2n2  …②
①②より最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は、真ん中の整数の2乗の2倍に等しい

数学大問4番(関数)の傾向

福岡の公立高校入試の数学の大問4番では、関数が出題されることが多いです。中でも、「1次関数の利用」、「2次関数の利用」と大枠にわけられます。さらに分解してみると

  • 「追いかけっこ(1次関数)」
  • 「追いかけっこ(1次関数と2次関数の組み合わせ)」
  • 「2点が動く運動」
  • 「水そう」
  • 「代金」
  • 「いろいろな関数」

などが代表的な例です。このような代表的な問題、そして解法パターンを習得しておくことで、効率的に問題を解いていけるでしょう。

数学大問4番(関数)予想問題1

図1のように、200L の水が入る水そうがあります。この水そうには給水管 A, B がついており, 最初はA管だけで10分間給水します。次に A 管を閉じ、その5分後にA, B両管を使い, 満水になるまで給水します。図2は,水を入れ始めてからx分後の水の量をyLとしたとき, 満水になるまでの x, y の関係をグラフに表したものです。このとき, 次の問いに答えなさい。
水そうの関数
(1) 給水管 A では, 毎分何 L の割合で給水しましたか。
(2) 給水管 A, B の両管で給水したときの xとyの関係を式に表しなさい。また, xの変域も答えなさい。
(3) 図2の水そうも, 図 1 の水そうと同じ大きさで 200L の水が入り, 満水の状態になっています。 この水そうには配水管がついており, 図 1 の水そうに給水を始めるのと同時に, 毎分 6L の割合で排水します。このとき、2つの水そうの水の量が等しくなるのは, 排水を始めてから何分後か求めなさい。

数学大問4番(関数)解答1
(1) グラフより 10 分間で 80L 給水しているから毎分の給水量は 8(L) である。
(2) グラフより 2 点(15,80), (25,200)を通る直線で, 変域は 15≦ x ≦25 。傾きは、yの増加量/xの増加量より、12。さらに、点(15,80)を通るから y=12x+bに代入して、80=12×15+b b=-100 よって、y=12x-100(15≦x≦25)
(3) 50/3 分後

数学大問4番(関数)予想問題2

下の図1のような斜面上で、地点Aからボールを矢印の方向に頃が下。ボールが転がり始めてからx秒間に転がる距離ymを調べたところ、 y=1/2x2という関係があった。このとき、次の問いに答えよ。
2次関数

(1)関数y=1/2x2について、xの値が1から3まで増加するときの変化の割合を求めよ。

上の図3のように、地点Aの3m先に地点Bがある。地点Aからボールが転がり始めると同時に、Pさんが地点Bから一定の速さで図の矢印の方向に走り始めるものとする。
このとき、次の問いに答えなさい。
(2)Pさんが走り始めてから6秒後にボールがPさんに追いついたとする。このとき、Pさんの速さは、毎秒何mか。
(3)次に、Pさんは、地点Bから毎秒3mの速さで走り始め、途中で立ち止まった。この1秒後にボールがPさんに追いついた。このとき、Pさんが立ち止まったのは、走り始めて何秒後か。

数学大問4番(関数)解答2
(1)2
(2)5/2(2.5)
(3)5

数学大問5番傾向

数学の大問5番は、主に「相似」の活用がその中心となります。「相似の証明」「相似と円」「相似と多角形」「相似と三平方」など他の図形や単元と組み合わせて出題されます。復習しておきたい単元としては、

  • 「相似の証明」
  • 「円周角の定理」
  • 「内接する四角形の定理
  • 「接弦定理」
  • 「円周角は弧の長さに比例する」
  • 「中点連結定理」
  • 「角の二等分線定理」
  • 「相似を見つける」
  • 「比合わせ(連比)」
  • 「三平方の定理」

などを使う練習を練習を毎日ウォーミングアップ代わりに1題解く習慣を持っておきたいものです。

数学大問5番(平面図形)予想問題1

図のように、△ABC とその辺 BC を直径とする円がある。この円と辺 AB,辺 AC とは、それぞれ点 D,E で交わっていて、AD=1cm、DB=AC=2cmである。CD と BE の交点を F とするとき、次の問いに答えよ。
円
(1)△ACD∽△FBD を証明せよ。
(2)CD の長さを求めよ。
(3)BE の長さを求めよ。
(4)△BCF の面積を求めよ。

解答1
(1)
△ACD と△FBD において
∠ACD=∠FDB=90°(直径BCの円周角)…①
∠ACD=∠FDB(弧DEの円周角)…②
①②より、2 組の角がそれぞれ等しいので、
△ACD∽△FBD

(2)求める線分CDは、△ADCに着目して三平方の定理。ここでは、△ADCは、特別な直角三角形(1:2:√3 )なので、CD= √3 cm

(3)3√3/2
(4)√3/3

数学大問5番(平面図形)予想問題2

図のように、円の周上にA、B、C、Dがあり、ADとBCの交点をEとし、∠BAD=∠CAD、AB=6cm、BC=5cm、CA=4cmである。次の各問いに答えよ。
円周角
(1)BE:ECをもっとも簡単な整数の比で表しなさい。
(2)AEの長さとEDの長さの積を求めよ。
(3)AEの長さとADの長さの積を求めよ。
(4)AEの長さを求めよ。

解答2
(1)3:2
(2)6
(3)24
(4)3√2

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